Disisipkan angka 1. Bilangan-bilangan tersebut adalah
13, 113
31, 311
37, 317
67, 617
79, 719
Disisipkan angka 2. Bilangan-bilangan tersebut adalah
17, 127
23, 223
29, 229
41, 421
53, 523
83, 823
89, 829
Disisipkan angka 3. Bilangan-bilangan tersebut adalah
11, 131
17, 137
19, 139
23, 233
29, 239
31, 331
37, 337
41, 431
43, 433
61, 631
73, 733
79, 739
89, 839
97, 937
Disisipkan angka 4. Bilangan-bilangan tersebut adalah
19, 149
37, 347
43, 443
61, 641
67, 647
73, 743
97, 947
Disisipkan angka 5. Bilangan-bilangan tersebut adalah
11, 151
17, 157
47, 457
71, 751
83, 853
89, 859
Disisipkan angka 6. Bilangan-bilangan tersebut adalah
13, 163
17, 167
23, 263
29, 269
37, 367
41, 461
43, 463
47, 467
53, 563
59, 569
61, 661
71, 761
79, 769
83, 863
97, 967
Disisipkan angka 7. Bilangan-bilangan tersebut adalah
13, 173
19, 179
67, 677
73, 773
79, 779
97, 977
Disisipkan angka 8. Bilangan-bilangan tersebut adalah
11, 181
23, 283
47, 487
83, 883
Disisipkan angka 9. Bilangan-bilangan tersebut adalah
11, 191
13, 193
17, 197
19, 299
23, 293
37, 397
41, 491
53, 593
59, 599
61, 691
97, 997
Semua bilangan di atas adalah bilangan prima.
Rabu, 20 Oktober 2010
Palindrom
Misalnya 1111. Merupakan palindrom dengan 4 digit. 1111 habis dibagi 11 yaitu hasilnya 101. Begitu juga dengan palindrom 4 digit yang lain. Misalnya 2332. Merupakan palindrom 4 digit. Dan 2332 habis dibagi 11. Hasilnya yaitu 212.
Mengapa bisa terjadi hal seperti itu?
Perhatikan ciri sebuah bilangan habis dibagi 11 berikut ini :
Sebuah bilangan habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11.
Misalnya
Apakah 1221 habis dibagi 11?
1 – 2 + 2 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 11. Maka 1221 habis dibagi 11.
Setiap bilangan misalnya secara umum kita tuliskan dalam bentuk (ab…xyz). Banyaknya digit pada bilangan tersebut adalah n digit. Bilangan tersebut terdiri dari n digit. Maka bilangan tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk
(ab…xyz) = a(10^(n-1)) + b(10^(n-2)) + … + x(100) + y(10) + z
Sekarang kita perhatikan hal berikut ini :
1 = 0 + 1
10 = 11 – 1
100 = 99 + 1
1000 = 1001 – 1
10000 = 9999 + 1
…
dan seterusnya…
perhatikan bahwa 0, 11, 99, 1001, 9999, … merupakan kelipatan 11
(ab…xyz) = a(10^(n-1)) + b(10^(n-2)) + … + x(100) + y(10) + z
(ab…xyz) = a(10^(n-1)) + b(10^(n-2)) + … + x(99 + 1) + y(11 – 1) + z
Untuk memudahkan kita anggap banyaknya digitnya sebarang.
(…xyz) = … + x(99 + 1) + y(11 – 1) + z
(…xyz) = ( … + 99x + 11y) + ( … + x – y + z)
Jika (…xyz) habis dibagi 11. Dan ( … + 99x + 11y) habis dibagi 11. Maka haruslah ( … + x – y + z) habis dibagi 11. Jadi, ciri habis dibagi 11 adalah ( … + x – y + z) habis dibagi 11. Yaitu jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan dimulai dari tanda positif hasilnya habis dibagi 11.
.
Dan sekarang kita perhatikan bahwa setiap bilangan palindrom 4 digit. Maka jika kita lakukan langkah ciri bilangan habis dibagi 11. Yaitu menjumlahkan digit-digitnya dari digit satuan dengan tanda positif terlebih dahulu. Maka nanti hasilnya pasti nol. Karena bilangan palindrom 4 digit berbentuk (aaaa) atau (abba). Untuk (aaaa) sudah pasti habis dibagi 11. Karena a – a + a – a = 0.
Untuk (abba), a – b + b – a = 0. Maka abba juga habis dibagi 11.
Dengan demikian terbukti bahwa bilangan berdigit 4 yang membentuk palindrom, habis dibagi 11.
Begitu juga untuk bilangan berdigit 2, 6, 8, 10, dst.. bisa dibuktikan sendiri…
Mengapa bisa terjadi hal seperti itu?
Perhatikan ciri sebuah bilangan habis dibagi 11 berikut ini :
Sebuah bilangan habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11.
Misalnya
Apakah 1221 habis dibagi 11?
1 – 2 + 2 – 1 = 0. Karena 0 habis dibagi 11. Maka 1221 habis dibagi 11.
Setiap bilangan misalnya secara umum kita tuliskan dalam bentuk (ab…xyz). Banyaknya digit pada bilangan tersebut adalah n digit. Bilangan tersebut terdiri dari n digit. Maka bilangan tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk
(ab…xyz) = a(10^(n-1)) + b(10^(n-2)) + … + x(100) + y(10) + z
Sekarang kita perhatikan hal berikut ini :
1 = 0 + 1
10 = 11 – 1
100 = 99 + 1
1000 = 1001 – 1
10000 = 9999 + 1
…
dan seterusnya…
perhatikan bahwa 0, 11, 99, 1001, 9999, … merupakan kelipatan 11
(ab…xyz) = a(10^(n-1)) + b(10^(n-2)) + … + x(100) + y(10) + z
(ab…xyz) = a(10^(n-1)) + b(10^(n-2)) + … + x(99 + 1) + y(11 – 1) + z
Untuk memudahkan kita anggap banyaknya digitnya sebarang.
(…xyz) = … + x(99 + 1) + y(11 – 1) + z
(…xyz) = ( … + 99x + 11y) + ( … + x – y + z)
Jika (…xyz) habis dibagi 11. Dan ( … + 99x + 11y) habis dibagi 11. Maka haruslah ( … + x – y + z) habis dibagi 11. Jadi, ciri habis dibagi 11 adalah ( … + x – y + z) habis dibagi 11. Yaitu jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan dimulai dari tanda positif hasilnya habis dibagi 11.
.
Dan sekarang kita perhatikan bahwa setiap bilangan palindrom 4 digit. Maka jika kita lakukan langkah ciri bilangan habis dibagi 11. Yaitu menjumlahkan digit-digitnya dari digit satuan dengan tanda positif terlebih dahulu. Maka nanti hasilnya pasti nol. Karena bilangan palindrom 4 digit berbentuk (aaaa) atau (abba). Untuk (aaaa) sudah pasti habis dibagi 11. Karena a – a + a – a = 0.
Untuk (abba), a – b + b – a = 0. Maka abba juga habis dibagi 11.
Dengan demikian terbukti bahwa bilangan berdigit 4 yang membentuk palindrom, habis dibagi 11.
Begitu juga untuk bilangan berdigit 2, 6, 8, 10, dst.. bisa dibuktikan sendiri…
Bilangan habis dibagi
Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.
Contoh : Apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah 2k untuk sebarang k bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu 2k-1 untuk sebarang k bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2.
Bukti :
Untuk sebarang bilangan misalnya (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n) sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk
(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n
(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10a_1 \times 10^{n-2} + 10a_2 \times 10^{n-3}) + \dots + 10a_{n-1} + a_n
(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}) + a_n
Karena 10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}) habis dibagi 2, maka agar bilangan habis dibagi 2 harusnya a_n habis dibagi 2. Dimana a_n adalah digit terakhir (satuan) dari angka kita. Sehingga ciri bilangan habis dibagi 2 yaitu digit terakhirnya (satuannya) habis dibagi 2. Yaitu 0, 2, 4, 6, dan 8. Yang tidak lain merupakan bilangan genap.
Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 3
Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 Baca selanjutnya…
Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.
Contoh : Apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah 2k untuk sebarang k bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu 2k-1 untuk sebarang k bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2.
Bukti :
Untuk sebarang bilangan misalnya (a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n) sebanyak n digit. Bentuk tersebut dapat kita tuliskan menjadi bentuk
(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=a_1 \times 10^{n-1} + a_2 \times 10^{n-2}+ \dots+ a_{n-1} \times 10 + a_n
(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10a_1 \times 10^{n-2} + 10a_2 \times 10^{n-3}) + \dots + 10a_{n-1} + a_n
(a_1 a_2 \dots a_{n-1} a_n)=10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}) + a_n
Karena 10 (a_110^{n-2}+a_210^{n-3}+ \dots + a_{n-1}) habis dibagi 2, maka agar bilangan habis dibagi 2 harusnya a_n habis dibagi 2. Dimana a_n adalah digit terakhir (satuan) dari angka kita. Sehingga ciri bilangan habis dibagi 2 yaitu digit terakhirnya (satuannya) habis dibagi 2. Yaitu 0, 2, 4, 6, dan 8. Yang tidak lain merupakan bilangan genap.
Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 3
Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 Baca selanjutnya…
Langganan:
Postingan (Atom)